Логические величины и выражения
Содержание
Логические величины и выражения. Практическая работа 2 «Программирование логических выражений»
Логические величины и выражения, программирование ветвлений
Практикум
Практическая работа № 3.2
«Программирование логических выражений»
К числу основных понятий логики относятся: высказывание, логическая величина, логические операции, логические выражения и формулы.
Высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывании можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, высказывание «На улице идет дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение А больше, чем В», записанного в форме неравенства: А > В, будет зависеть от значений переменных А и В.
Логические величины — понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины .
Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, X, Y и др. — переменные логические величины, то, значит, они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение — простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение) . В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или ∧. Конъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: А & В. Значением такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v. Дизъюнкция — двухместная операция; записывается в виде: A v В. Значением такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно.
Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что . »). Отрицание — унарная (одноместная) операция; записывается в виде: ¬ А или Ā.
Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблице, которая называется таблицей истинности логических операций (здесь И означает «истина», Л — «ложь»):
Логическая формула— формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция . Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Например: (А & В) v (¬ А & В) v (¬ А & ¬ В).
Пример. Вычислить значение логической формулы:
если логические переменные имеют следующие значения: X = ЛОЖЬ, Y = ИСТИНА, Z = ИСТИНА.
Решение. Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:
Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:
4) ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА.
Логические функции на области числовых значений
Алгебра чисел пересекается с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной X множеству положительных чисел выражается через высказывание : «X больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называют неравенством. В логике — отношением.
Отношение X > 0 может быть истинным или ложным. Если X — положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:
Здесь выражения 1 и 2 — некоторые математические выражения, принимающие числовые значения. В частном случае выражение может представлять собой одну константу или одну переменную величину. Знаки отношений могут быть следующими:
Итак, отношение — это простое высказывание, а значит, логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5 > 0 — всегда ИСТИНА, 3 * 6 : 2 — всегда ЛОЖЬ; так и переменной: а 0) или Р(х, у) = = (х 2 + У 2 2 2 + У 2 2 и R1 2 2 + У 2 2 и R2 2 + У 2 ) > R1 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R1 2 + У 2 ) > R2 2 ) & ((X 2 + У 2 ) 2 ) & R2 2 — правая граница, парабола.
Рассматриваемая область есть пересечение трех полуплоскостей, описываемых неравенствами:
Во внутренних точках все эти три отношения являются одно-временно истинными. Поэтому искомый предикат имеет вид:
F(X, У) = (У > -X) & (Y X 2 ).
Логические выражения на Паскале
Уже говорилось о том, что в Паскале имеется логический тип данных.
Логические константы: true (истина), false (ложь).
Логические переменные: описываются с типом Boolean .
Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения: = (равно), <> (не равно), > (больше), = (больше или равно), Логические операции: not — отрицание, and — логическое умножение (конъюнкция), or — логическое сложение (дизъюнкция), хоr — исключающее ИЛИ. Таблица истинности для этих операций (Т — true ; F — false )
Логическое выражение может состоять из логических констант и переменных, отношений, логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false.
Например, логическая формула ¬ X & У v X & Z на Паскале запишется в виде следующего логического выражения:
not X and Y or X and Z,
где X, Y, Z — переменные типа Boolean.
Логические операции располагаются в следующем порядке по убыванию старшинства (приоритета): 1) not, 2) and, 3)or, xor. Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1 ≤ X ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение: