Наиболшее и наименьшее значений непререрывной функции на промежутке

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Наиболшее и наименьшее значений непререрывной функции на промежутке»

· рассмотреть применение производных для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

Пусть у нас есть график некоторой функции f(x) на промежутке [a; b]. По графику легко найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Иногда наибольшее и наименьшее значения можно отыскать и без построения графика.

А как же быть в других случаях, когда наличие наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке не так очевидно? Можно, конечно, каждый раз строить график функции и с помощью него находить игрек наибольшее и наименьшее. Но это не очень удобно и долго.

Для того, чтобы избежать построения графика функции воспользуемся следующими утверждениями.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

Справедливость данного утверждения мы не будем доказывать.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

Это утверждение можно проиллюстрировать графиками функций.

Видно, что на первом графике наибольшее и наименьшее значения достигаются во внутренних точках. На втором графике наибольшее значение достигается в конце промежутка, а наименьшее значение достигается во внутренней точке.

3. Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Читать еще:  Героическая оборона Киева (1941), кратко. И снова - о немецкой оккупации киева - и свет во тьме светит, и тьма не объяла его

Для доказательства данного утверждения достаточно вспомнить, что в данном случае идёт речь об экстремумах функции, а экстремум достигается только в стационарной или критической точке.

Давайте сформулируем алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции игрек равно f(x) на отрезке [a; b].

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим ещё один пример.

Как находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке мы разобрались. А что же делать, если надо найти эти значения на незамкнутом интервале? Там же невозможно найти значения на концах промежутка. Можно конечно построить график функции, но тогда мы получим приближенные значения и опять же это долго.

Для решения таких задач удобно пользоваться следующей теоремой.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x = x. Тогда:

а) если x = x − точка максимума, то yнаиб = f(x);

б) если x = x − точка минимума, то yнаим = f(x).

Давайте геометрически проиллюстрируем эту теорему.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector