Основные свойства логарифмов

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

  • Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
  • Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
  • (x) и будет искомым значением логарифма.
Читать еще:  Большой арктический заповедник: интересные факты, достопримечательности и фото. Заповедник большой арктический Направление большого арктического заповедника

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_<3>(9))

  • Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $ 3=3^1, qquad 9=3^2;$
  • Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2) $ (3^1)^x=3^2, $ $ 3^<1*x>=3^2, $ $ 1*x=2,$ $ x=2.$
  • Вот мы и решили: $log_<3>(9)=2.$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac<1><125>) по основанию (5): (log_<5>(frac<1><125>))

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $ 5=5^1, qquad frac<1><125>=frac<1><5^3>=5^<-3>;$
  • В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^<-3>): $ (5^1)^x=5^<-3>, $ $ 5^<1*x>=5^<-3>,$ $1*x=-3,$ $x=-3.$
  • Получили ответ: $ log_<5>(frac<1><125>)=-3.$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_<64>(4))

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $ 64=2^6, qquad 4=2^2;$
  • В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^<2>): $ (2^6)^x=2^<2>, $ $ 2^<6*x>=2^<2>,$ $6*x=2,$ $x=frac<2><6>=frac<1><3>.$
  • Получили ответ: $ log_<64>(4)=frac<1><3>.$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_<8>(1))

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $ 8=2^3 qquad 1=2^0;$
  • В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^<0>): $ (2^3)^x=2^<0>, $ $ 2^<3*x>=2^<0>,$ $3*x=0,$ $x=frac<0><3>=0.$
  • Получили ответ: $ log_<8>(1)=0.$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_<5>(15))

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $ 5=5^1 qquad 15= . ;$ (15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $ log_<5>(15).$

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Формулы и свойства логарифмов

Для любых a > 0 , a ≠ 1 и b > 0 , x > 0 , y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.

Именно это свойство логарифмов позволяет вычислять точные значения в отличае от других методов вычисления.

Неточность других методов вычисления основывается на неверной корреляции остаточного члена логарифмического равенства.

Наряду с этим каждое из свойств является индивидуальным, равно как каждый из его членов. Всё это позволяет сделать вывод, что благодаря формулам, выведенным математиком, вычисления становятся простыми в рамках неравенств.

Основное логарифмическое тождество

Основание a , возведенное в степень логарифма с основанием a , будет равно b .

Логарифм единицы

Логарифмический ноль. Какое бы ни было основание логарифма, если в аргументе стоит 1 , то логарифм всегда равен 0 .

Вычисления такого логарифма применяются в балистике при расчете траектории движения объекта, находящегося в непосредственной близости от Земли. Это обусловлено наиболее точным значением ускорением свободного падения, равным 9,81. А при удалении от поверности Земли это значение изменяется, уменьшается пропорционально расстоянию удаления от поверхности.

Логарифм числа, равного основанию

Логарифмическая единица. Если аргумент и основание логарифма одинаковы, то значение логарифма будет равно единице.

Логарифм числа, обратного основанию

Если аргумент логарифма имеет значение обратное основанию, то значение логарифма будет равно -1 .

Логарифм произведения двух положительных чисел

Сумма логарифмов. При умножении логарифмируемых чисел, можно сделать из них сумму 2-х логарифмов, у которых будут одинаковые основания.

Логарифм частного

Логарифм частного. При делении чисел мы получаем разность двух логарифмов с одинаковым основанием.

Логарифм степени положительного числа

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Логарифм корня числа

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

Основание логарифма в степени

Формула перехода к новому основанию

log a x = log b x log b a

log a x = 1 log x a

Производная логарифма

Производная логарифмической функции по основанию равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

При расчёте производной логарифма необходимо учитывать ложный коэффициент производной, при котором нарастает его гиперболическая составляющая. Это и есть главное условие корректного нахождения производной логарифма. В то же время, нельзя упускать второстепенные составляющие при расчёте. К ним относятся расчеты с применением общей суммы логарифмов, а также пропорциональная составляющая двух вычисляемых логарифмов. Такой подход можно применить не только для вычисления производной натурального логарифма, но и при расчете производной десятичного логарифма при возведении в степень x по основанию a.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector