Свойства степенных функций, построение графиков

К степенным функциям в теории относятся следующие виды:

  • линейная функция (y = kx + b) ;
  • квадратичная парабола (y = x^<2>) (в общем виде: (y = ax^ <2>+ bx + c)) ;
  • кубическая парабола (y = x^<3>) ;
  • гипербола (y = frac<1>) , которую можно представить в виде ( y = x^<-1>😉
  • функция (y =sqrt) , так как (sqrt = x^<2>>.)

В качестве примера можно рассмотреть описание функции: (y=x^>) . В первую очередь следует проанализировать функции с показателем степени (frac>1) . Например, задана некая функция:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).

Далее следует записать таблицу значений:

Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:

Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:

При (0 , получается (x^6 , но и выполняется (sqrt или (x^3

При (x>1) , получается (x^4 , но и выполняется (sqrt или (x^2

Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае (0 :

В данном случае синий цвет соответствует функции (y=x^2) ; красный: ( y=x^<2,5>) ; зеленый: (y=x^3) . На следующем этапе нужно построить графики по порядку на всей области определения функции (y=x^<2,5>) . Цвет графиков останется прежним, как и на предыдущем рисунке:

График функции (y=x^>) , ((m>n)) является кривой, которая проходит через точки (0,0) и (1,1), и напоминает ветвь параболы. При увеличении показателя график функции в верхнем положении становится круче.

Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:

При использовании k

При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.

Квадратичная функция (y = ax2 + bx + c) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:

    При a > 0, ветви параболы направлены вверх, при a

Функция (y = x^<3>) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции ( y = x^<4>) и (y = x^<5>.)

Можно отметить, что функции (y = x^<2>) и (y = x^<4>) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.

Функция (y = f(x)) является четной, когда:

  • область определения функции симметрична относительно нуля;
  • каждое значение x из области определения соответствует справедливому равенству (f(−x) = f(x)) .

Графики функций (y = x^<3>) и (y = x^<5>) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.

Функция (y = f(x)) – нечетная, при условии, что:

  • область определения функции симметрична относительно нуля;
  • любой x из области определения соответствует равенству (f(-x) = -f(x)) .

Функция (small y = frac<1>) в виде гиперболы также представляет собой степенную функцию. Это объясняется тем, что (small frac<1> = x^<-1>) . Так как знаменатель не должен быть равен нулю, рассматриваемая функция не определена при (x = 0) . Гипербола представляет собой нечетную функцию с графиком, который симметричен по отношению к началу координат.

Построение графика функции (small y = sqrt) следует начинать с области определения. Выражение (small sqrt) определено при (x ≥ 0) . Поэтому областью определения функции являются все неотрицательные числа. Также (small y = sqrt) принимает только неотрицательные значения, поскольку (small sqrt ≥ 0.)

Целесообразно воспользоваться данными свойствами в процессе решения уравнений и неравенств. Уравнение вида (small sqrt=g(x)) имеет смысл только при (f(x) ≥ 0) и (g(x) ≥ 0) . Это является областью допустимых значений.

На одном графике можно построить параболу ( y = x^<2>) и функцию (small y = sqrt) . Следует рассмотреть правую ветвь параболы, при (x ≥ 0) . Заметим, что эта часть параболы и график функции (small y = sqrt) словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x.

То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1. Если D 0,то график выглядит так:
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Виды, свойства и область определения

Разделяют зависимости (f(x)) на простые (элементарные) и сложные. Степенная функция относится к ряду элементарных.

По показателю степени (характеристике числа) определяются присущие свойства степенной функции. На Рис.2 приведена классификация множества вещественных чисел. Собственно вид построения функционального степенного графика с целым натуральным или отрицательным показателем зависит как от знака, так и от четности числа показателя. Частных случаев действительных чисел (типовых) в показателе степени насчитывается более десятка.

Для сложных соответствий присуще применение к переменной нескольких функциональных «воздействий», при этом получается, как будто новая функция берется от другой «функции-аргумента». При фиксировании функциональных зависимостей используются следующие способы:

Табличный (значения «икса» в соответствии с «игреком» для заданной f (x));

Функция с целым плюсовым показателем степени при четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Множество величин переменных относится в свойствах зависимостей к области определения (как определяется совокупность аргументов x). Величины допустимых итогов функции (y) на определенных участках фиксируются как диапазон значений.

Линейную зависимость общего вида y = kx + b можно считать степенной с показателем степени n=1. Если n=0, x≠0 (т.к. ноль в нулевой степени не определено), то функция становится константой-единицей. Особенность функций с 2k целым минусовым показателем – симметричность около оси ординат, четность. Для функций с целым 2k-1 показателем 1 (Рис.6,9), − 1 0 рисунке: положительные, отрицательные, целые, четные, нечетные, дробные).

Рис.6 y=х^п, п-четное, вид параболы.

Рис.7 y=x^n. n-нечетное, вид кубической параболы.

Рис.8 y=х^(-n), когда — чётное число

Рис.9 y =х^(-n), когда — нечётное число

Рис.10 y=х^(mп)mп—неправильная дробь

Рис.11 y=х^(mn), где0 , 0.

Квадратичные неравенства с 2 переменными:

y-x^2≥0, х^2 – 8х + 12 , 0) .

Решая попарно уравнения прямых (пересечение), находятся три вершины треугольника С, В, А.

Для С – у=-2; х=6. Для В – х=0;у=1. Для А – у=-2; х=-3.

Найти подходящий к системе неравенств участок координатной плоскости.

Решаем уравнение для каждого отношения. Первое выражение — окружность с точкой центра в начале координат, единичным r. Строится линия x^2 + у^ 2 = 1, с пересечением осей (1; 0),(-1;0). Она делит плоскость на круг и вне круга; выбирается нужная область внутри круга (наносится штриховка).

Второе уравнение – прямая линия y=-2x. Строится по точкам (1;2), (-1;-2). Она разделяет плоскость пополам, выбирается область ниже прямой (заштриховывается). Пробное место с координатами -1, 1 удовлетворяет второму отношению (-1≤0).

Неравенства в системе верны в области точек нижнего полукруга и линии контура (Рис.4).

Проверим подстановкой (-0.2;-0.2) 0.08 0,

Отмечаются на числовой оси промежутки по результатам трех отношений (Рис.5 ).

После объединения для всех неравенств подходит «луч» из точки ≥50.

Для помощи при решении квадратичных неравенств, используя равнозначно соответствующее уравнение ax 2 + bx + c = у, с дискриминантом D = b 2 − 4ac, предлагается табличный алгоритм нахождения участков переменных x в зависимости от знаков коэффициента a и D. Причем старший коэффициент а≠0. Необходимо находить корни при положительном D для разложения на множители, упрощения, использования метода интервалов.

Как записать общее решение?

Сообразно четкой математической формулировке, отображению решения используются дополнительные условные символы. При вычислении результатов объединенных неравенств ищется пересечение решений, когда их нет, то ответом является пустое множество x:

Если встречается «пустое» неравенство, то результат находится хотя бы из одного уравнения системы.

Если отношение строгое, тогда отрезок решения считается открытым, со скобками ( ), без включения на отрезки пограничных точек. Если – нестрогое, то решение будет закрытым отрезком, включающим граничные точки.

Если из всего целого интервала исключают точку 5, то возможно оформление со знаком :

Откроется еще много новых понятий, определений, знаковых обозначений благодаря осознанному изучению математических наук.

Приведены не все типы из многообразия неравенств, могут быть более сложные. Для их решения необходимо научиться разбираться в применяемых методах и способах специалистам, которые встречаются с необходимостью оптимизации процессов, допусками и ограничениями, учетом влияния нескольких параметров (математики, программисты, физики, экономисты).

Читать еще:  Что нужно поступить художественную школу. Детская Художественная Школа им. М.А. Врубеля. Поступающим. Художественная школа CАО
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector