Знаки тригонометрических функций по четвертям — примеры определения

Раздел математики, который занимается изучением тригонометрических функций, называется тригонометрией. К функциям относятся следующие: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существуют также и обратные им функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).

Для нахождения знаков тригонометрических функций по четвертям рекомендуется применять специальный «инструмент». Он называется окружностью синусов и косинусов. Однако по ней можно находить не только функции, которые соответствуют ее названию, но и другие. Делается это с помощью тригонометрических тождеств.

Специалисты рекомендуют для понимания материала получить базовые знания об углах и основных тригонометрических функциях. Следует применять принцип «от простого к сложному», поскольку нужно учитывать физиологические особенности головного мозга.

Виды углов

Важной «ступенью» в освоении тригонометрии является идентификация углов. Они делятся на 7 видов. Кроме того, существует еще два типа классификации по знаку: положительные и отрицательные.

Для составления критериев, по которым математики классифицируют углы, необходимо ввести некоторую переменную. Пусть существует некоторый угол a, градусная мера которого составляет x градусов. Необходимо рассмотреть 7 случаев, в которых он измеряется только в градусной размерности:

Последний случай встречается очень часто в различных задачах, в которых следует вычислить определенное значение, упростить тригонометрическое выражение или использовать формулы приведения, а также найти разность между функциями.

Градус — это не единственная единица измерения размерности угла. Существует также и радиан, который пользуется большей популярностью, чем предыдущая единица. Согласно статистике, которая составлена математиками, при решении задач с тригонометрическим уклоном многие используют радиан (около 95,88%). Это объясняется удобством, поскольку в основном применяется тригонометрическая окружность для быстрого нахождения значений функций. Перевод одной единицы в другую осуществляется с помощью двух простых соотношений:

  • В радианы: P = (a * ПИ) / 180.
  • В градусы: а = (P * 180) / ПИ.

    Читать еще:  Он дракон она кот совместимость вектор. Кролик и дракон: совместимость мужчины и женщины и на что она влияет. Кролик и Дракон в любовных и интимных отношениях

    Существует 2 метода перевода: автоматизированный и ручной. В первом случае следует применять специальные радианные таблицы, программы и тригонометрическую окружность. Во втором — пользоваться формулами для преобразований. Если очень часто приходится решать задачи подобного типа, то можно создать свой инструмент. Для этого потребуется табличный процессор EXCEL. Необходимо вбить в ячейки две формулы, и тогда ручной метод «превратится» в автоматизированный.

    Смысл функций

    Тригонометрические функции используются не только в математике, но и в других дисциплинах (физике, электронике, микросхемотехнике, акустике и так далее). С их помощью можно описывать законы изменения различных периодических величин.

    Для определения функции необходимо представить прямоугольный треугольник. Его стороны называются катетами и гипотенузой. Угол между двумя катетами является прямым, то есть он равен 90 градусам.

    Синус угла — значение, которое вычисляется отношением линейного размера противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Если выразить величину через отношение прилежащего катета к гипотенузе, то она называется косинусом угла. Величина, полученная при отношении двух катетов — противолежащего к прилежащему, называется тангенсом. В случае с котангенсом, необходимо поменять числитель и знаменатель местами, то есть отношение прилежащего к противолежащему. Следует также напомнить, что все четыре функции обладают периодичностью. Для sin и cos период соответствует 2 ПИ, а для tg и ctg — ПИ.

    Обратными тригонометрическими функциями являются arcsin, arccos, arctg и arcctg. Их необходимо использовать в том случае, когда нужно найти угол по заданному значению. Для этих целей применяются таблицы Брадиса, тригонометрический калькулятор и программное обеспечение, а также круг синусов и косинусов.

    Знаки тригонометрических функций по четвертям

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 ( 1 , 0 ) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 ( x , y ) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 ( x , y ) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.

    Читать еще:  Геннадий лоточкин. главные факты биографии бывшего начальника гибдд тюменской области. Почему главный гаишник тюменской области ушел в отставку. – Останавливают ли вас на постах ДПС

    Для наглядности приведем иллюстрацию.

    Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол — 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° — угол третьей четверти. Угол — 45 ° — это угол четвертой четверти.

    При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A 1 ( x , y ) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

    Косинус — это абсцисса точки A 1 ( x , y ) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

    1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
    2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
    3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.
    4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус — в 2 и 4 четвертях.

    Примеры решения задач

    Задачи на нахождение знака попадаются редко, поскольку они являются довольно простыми. Рекомендуется потренироваться в нахождении знака. Для этого можно придумать углы любой меры (радианной или градусной).

    Читать еще:  Что такое ядовитая физалия (португальский кораблик)? Медуза "португальский кораблик": описание и фото Сообщение о португальском кораблике

    После решения следует проверить результат, подставив значения в тригонометрический калькулятор. Его можно найти в стандартных программах операционных систем Windows, Linux и Mac (расширенная версия инструмента). Кроме того, следует обратить внимание на то, что линия должна проходить по направлению, которое зависит от знака. Необходимо также учитывать четность или нечетность, а также периодичность каждой функции.

    Положительное значение

    Для изготовления детали следует рассчитать значение тригонометрических функций угла 225 градусов. В этой задаче ничего не сказано про знаки функций. Из-за этого и делают ошибки. Решение следует разбить на несколько шагов. Использование такого метода (дробление задачи на подзадачи) позволяет избежать неверных вычислений. Каждый из пунктов можно легко проверить. Алгоритм нахождения ответов имеет следующий вид:

  • Перевод градусной меры в радианную: 5ПИ/4.
  • Значение находится в III четверти, следовательно: sin 0 и ctg>0.
  • -sin(ПИ + ПИ/4) = -sin(ПИ/4) = -cos(ПИ/4) = -sqrt(2)/2.
  • tg(ПИ/4) = ctg(ПИ/4) = -sin(ПИ/4) / -cos(ПИ/4) = 1.

    После расчетов нужно выполнить проверку знаков. В III четверти больше нуля только тангенс и котангенс. Однако бывают случаи, когда значение градусной меры угла превышает 360.

    Свыше 2ПИ

    Существует определенный тип задач, в которых величина градусной меры угла свыше 360 градусов. Например, следует вычислить значения тригонометрических функций угла -26ПИ/6. Решается она следующим образом:

  • Следует выделить целую часть из -26ПИ/6 и привести к удобному виду: 26/6 = 4 + 2/6 = 4 + 1/3. Угол находится в IV четверти (движение по часовой стрелке).
  • -sin(4ПИ + ПИ/3) = -sin(ПИ/3) = — sqrt(3)/2.
  • cos(ПИ/3) = 1/2.
  • -tg(ПИ/3) = — sqrt(3).
  • -сtg(ПИ/3) = — 1/sqrt(3).

    Во втором, четвертом и пятом пунктах функции являются нечетными. Если посмотреть на график, то движение осуществляется по часовой стрелке, поскольку угол является отрицательным числом. Функция косинуса является четной. Ее числовое значение — положительная величина. Последним этапом считается проверка знаков. Угол находится в IV четверти. Значения функций совпадают.

    Таким образом, при решении задач по тригонометрии следует применять тригонометрическую окружность, с помощью которой можно безошибочно определять знак функции.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector